陆元鸿老师的《数学中国》园地《其他基础数学》(包括算术、数字游戏、数论、组合数学、集合论、数理逻辑等) → 从红黄蓝球中选9个围成一圈,每种颜色至少有一个,旋转后相同算同一种,有几种做法?


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主题:从红黄蓝球中选9个围成一圈,每种颜色至少有一个,旋转后相同算同一种,有几种做法?

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从红黄蓝球中选9个围成一圈,每种颜色至少有一个,旋转后相同算同一种,有几种做法?  发帖心情 Post By:2017-12-25 22:43:52 [只看该作者]


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从红黄蓝球中选9个围成一圈,每种颜色至少有一个,旋转后相同算同一种,有几种做法?  发帖心情 Post By:2018-1-2 15:36:54 [只看该作者]

首先,在不考虑“旋转后相同算同一种”的情况下,我们已经算出,一圈 9 个固定位置的不同的放法数为

 

                                            3^9-3×2^9+3 。

 

一般来说,以上这些放法中的每一种,旋转 9 次,可以得到 9 种不同的放法。例如:

 

“红红红红黄黄蓝蓝蓝”→“蓝红红红红黄黄蓝蓝”→“蓝蓝红红红红黄黄蓝”→“蓝蓝蓝红红红红黄黄”→“黄蓝蓝蓝红红红红黄”→

 

“黄黄蓝蓝蓝红红红红”→“红黄黄蓝蓝蓝红红红”→“红红黄黄蓝蓝蓝红红”→“红红红黄黄蓝蓝蓝红”。

 

按照题目给出的规定,“旋转后相同算同一种”,这 9 种不同的放法,只能算是一种,所以上面算出的放法数要除以 9 ,变成

 

                                        (3^9-3×2^9+3) / 9 。

 

但是,并不是所有的放法,旋转 9 次后都可以得到 9 种不同的放法。下面 3! = 6 种放法,每一种旋转后只能得到 3 种不同的放法:

 

(1)“红黄蓝,红黄蓝,红黄蓝”→“蓝,红黄蓝,红黄蓝,红黄”→“黄蓝,红黄蓝,红黄蓝,红”。

 

(2)“红蓝黄,红蓝黄,红蓝黄”→“黄,红蓝黄,红蓝黄,红蓝”→“蓝黄,红蓝黄,红蓝黄,红”。

 

(3)“黄红蓝,黄红蓝,黄红蓝”→“蓝,黄红蓝,黄红蓝,黄红”→“红蓝,黄红蓝,黄红蓝,黄”。

 

(4)“黄蓝红,黄蓝红,黄蓝红”→“红,黄蓝红,黄蓝红,黄蓝”→“蓝红,黄蓝红,黄蓝红,黄”。

 

(5)“蓝红黄,蓝红黄,蓝红黄”→“黄,蓝红黄,蓝红黄,蓝红”→“红黄,蓝红黄,蓝红黄,蓝”。

 

(6)“蓝黄红,蓝黄红,蓝黄红”→“红,蓝黄红,蓝黄红,蓝黄”→“黄红,蓝黄红,蓝黄红,蓝”。

 

这 3! 种放法,在考虑“旋转后相同算同一种”的情况下,不应该除以 9 ,而应该除以 3 。

 

但是,这 3! 种放法,已经混在前面的 3^9-3×2^9+3 种放法中,我们已经全部除以 9 了。现在怎么来纠正?

 

我们应该先将这 3!  种放法从 3^9-3×2^9+3 中减去,再将这 3! 种放法单独放在外面,除以 3 ,然后加在总数上,这样就得到 
    

      (3^9-3×2^9+3 - 3!) / 9 + 3! / 3 = (3^9-3×2^9+3) / 9 - 3! / 9 + 3! / 3 。


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