陆元鸿老师的《数学中国》园地《其他基础数学》(包括算术、数字游戏、数论、组合数学、集合论、数理逻辑等) → 满足“各位数字中,数字 n 恰好出现 n 次(n=1,2,…,9)”的七位数共有几个?[謝謝陸老師]


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主题:满足“各位数字中,数字 n 恰好出现 n 次(n=1,2,…,9)”的七位数共有几个?[謝謝陸老師]

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满足“各位数字中,数字 n 恰好出现 n 次(n=1,2,…,9)”的七位数共有几个?[謝謝陸老師]  发帖心情 Post By:2017-11-13 23:30:03 [只看该作者]


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满足“各位数字中,数字 n 恰好出现 n 次(n=1,2,…,9)”的七位数共有几个?  发帖心情 Post By:2017-11-14 18:23:28 [只看该作者]

  满足“各位数字中,数字 n 恰好出现 n 次(n=1,2,…,9)”的七位数共有几个?

  容易看出,满足条件的七位数,只有下列 5 种情形:

(1)7 个数字都是 7 ,这样的数只有 1 个。

(2)7 个数字中有 6 个 6 ,1 个 1 。在 7 个位置中选 1 个位置放 1 ,有 C(7,1)=7 种选法,

所以这样的数有 7 个。

(3)7 个数字中有 5 个 5 ,2 个 2 。在 7 个位置中选 2 个位置放 2 ,有 C(7,2)=21 种选法,

所以这样的数有 21 个。

(4)7 个数字中有 4 个 4 ,3 个 3 。在 7 个位置中选 3 个位置放 3 ,有 C(7,3)=35 种选法,

所以这样的数有 35 个。

(5)7 个数字中有 4 个 4 ,2 个 2 ,1 个 1 。在 7 个位置中选 1 个位置放 1 ,有 C(7,1)=7 种

选法,在剩下 6 个位置中选 2 个位置放 2 ,有 C(6,2)=15 种选法,所以这样的数有 7×15=105 个。

    由上面的分析可知,满足条件的七位数,共有 1+7+21+35+105=169 个。

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