陆元鸿老师的《数学中国》园地《概率统计》(包括概率论、数理统计、多元统计分析、随机过程、排队论、时间序列分析等) → 掷一均匀铜板 6 次,求“在投掷过程中,曾经连续出现两次正面”的概率 [謝謝 王守恩,陸老師]


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主题:掷一均匀铜板 6 次,求“在投掷过程中,曾经连续出现两次正面”的概率 [謝謝 王守恩,陸老師]

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掷一均匀铜板 6 次,求“在投掷过程中,曾经连续出现两次正面”的概率 [謝謝 王守恩,陸老師]  发帖心情 Post By:2017-11-7 23:45:29 [只看该作者]


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掷一均匀铜板 6 次,求“在投掷过程中,曾经连续出现两次正面”的概率  发帖心情 Post By:2017-11-8 21:52:02 [只看该作者]

  掷一均匀铜板 6 次,求“在投掷过程中,曾经连续出现两次正面”的概率。

  掷一均匀铜板 6 次,每次有“正面”“反面”2 种情形,所以共有 2^6=64 种情形。

    “在投掷过程中,不出现连续两次正面”可以有下列几种情形:

    (下面括号中的数字,是出现正面的各次的序号)

    6 次全部是反面,即 ( ) ,只有 1 种情形。

    6 次中有一次正面,可以是 (1)(2)(3)(4)(5)(6) ,共 6 种情形。

    6 次中有两次正面,可以是 (13)(14)(15)(16)(24)(25)(26)(35)(36)(46) ,共 10 种情形。

    6 次中有三次正面,可以是 (135)(136)(146)(246) ,共 4 种情形。

    “在投掷过程中,不出现连续两次正面”的情形总数为 1+6+10+4=21 。

    “在投掷过程中,曾经连续出现两次正面”的情形数为 64-21=43 。

    所以,“在投掷过程中,曾经连续出现两次正面”的概率为 43/64 。
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掷一均匀铜板 6 次,求“在投掷过程中,曾经连续出现两次正面”的概率  发帖心情 Post By:2017-11-12 10:00:43 [只看该作者]

下面是网友 王守恩 在《数学中国》论坛上对此题的解答:

一,我们用2进制来表示这64种可能。
其中,不出现连续两个“1”的有21种。
0=000000=1
1=000001=2
2=000010=3
3=000011
4=000100=4
5=000101=5
6=000110
7=000111
8=001000=6
9=001001=7
10=001010=8
11=001011
12=001100
13=001101
14=001110
15=001111
16=010000=9
17=010001=10
18=010010=11
19=010011
20=010100=12
21=010101=13
22=010110
23=010111
24=011000
25=011001
26=011010
27=011011
28=011100
29=011101
30=011110
31=011111
32=100000=14
33=100001=15
34=100010=16
35=100011
36=100100=17
37=100101=18
38=100110
39=100111
40=101000=19
41=101001=20
42=101010=21
43=101011
44=101100
45=101101
46=101110
47=101111
48=110000
49=110001
50=110010
51=110011
52=110100
53=110101
54=110110
55=110111
56=111000
57=111001
58=111010
59=111011
60=111100
61=111101
62=111110
63=111111
.......
我们得到一个好玩的结论:
如果约定投掷的可能情形总数目为1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,......
则不出现连续两次正面的可能情形数目对应是1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,.....
概率是1/1,2/2,3/4,5/8,8/16,13/32,21/64,34/128,55/256,89/512,....


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f(n) 是掷硬币 n 次,不出现连续正面的情形种数,证明:{f(n)} 是一个 Fibonacci 数列  发帖心情 Post By:2017-11-21 18:56:47 [只看该作者]


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