陆元鸿老师的《数学中国》园地《微积分》(包括数学分析、微分方程、积分方程、实变函数、复变函数、泛函分析等) → 已知多项式 f(x) 满足 f(x)=4x^3-33x^2/2+9x+∫(0,x)f(t)dt ,求 f(x) [謝謝 天元酱菜院 和陸老師]


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主题:已知多项式 f(x) 满足 f(x)=4x^3-33x^2/2+9x+∫(0,x)f(t)dt ,求 f(x) [謝謝 天元酱菜院 和陸老師]

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已知多项式 f(x) 满足 f(x)=4x^3-33x^2/2+9x+∫(0,x)f(t)dt ,求 f(x) [謝謝 天元酱菜院 和陸老師]  发帖心情 Post By:2017-8-10 23:47:42 [只看该作者]


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已知多项式 f(x) 满足 f(x)=4x^3-33x^2/2+9x+∫(0,x)f(t)dt ,求 f(x)  发帖心情 Post By:2017-8-11 15:40:36 [只看该作者]

下面是网友 天元酱菜院 在《数学中国》论坛上对此题的解答:

 

小绿的错误:那个积分不是常量(是关于X的一个函数), 所以,小绿其中一步对C积分 不会得到cx。

可以通过等号两边求导,利用多项式的导数降阶性质来解此题:

两边求导: f ' (x) = 12x^2 -33x +9 +f(x)

有: f(x) - f ' (x)  = -12 x^2 +33x -9  .........(1)

因多项式的关于X的最高次幂不会出现在他的导函数中,

所以,(1)式中右边的最高次幂项必为f(x) 的 最高次幂项。

设f(x)= -12 x^2 + Ax +B

有f '(x) = - 24 x +A

代入(1)式,有 (-12 x^2 +Ax+B) - (-24x +A) = -12 x^2 +33x -9

比较各系数,有 A+24=33 , B - A = - 9

所以,A=9, B=0

所以,f(x)= - 12 x^2 +9x

代入题目验算无误。

[此贴子已经被作者于2017-8-11 15:41:07编辑过]

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