陆元鸿老师的《数学中国》园地《几何》(包括平面几何、三角函数、立体几何、解析几何、微分几何、拓扑、图论等) → 设 ΔABC 的周长为 P ,面积为 K ,外接圆半径为 R ,求 KP/R^3 的最大值[謝謝 波斯猫猫和陸老師]


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主题:设 ΔABC 的周长为 P ,面积为 K ,外接圆半径为 R ,求 KP/R^3 的最大值[謝謝 波斯猫猫和陸老師]

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设 ΔABC 的周长为 P ,面积为 K ,外接圆半径为 R ,求 KP/R^3 的最大值[謝謝 波斯猫猫和陸老師]  发帖心情 Post By:2017-12-24 11:21:42 [只看该作者]


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设 ΔABC 的周长为 P ,面积为 K ,外接圆半径为 R ,求 KP/R^3 的最大值  发帖心情 Post By:2018-1-1 12:00:39 [只看该作者]


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设 ΔABC 的周长为 P ,面积为 K ,外接圆半径为 R ,求 KP/R^3 的最大值  发帖心情 Post By:2018-1-1 12:03:48 [只看该作者]

下面是网友 波斯猫猫 在《数学中国》论坛上对此题的解答:

 

在网上查知,该题是第37届(2005年)加拿大数学奥林匹克试题第4题。与上述方法类似的解答者称,命题者给出的解答过程较繁。

 

∵  sinA+sinB +sinC+sin60°

 

=2sin(A+B)/2×cos(A-B)/2+2sin(C+60°)/2×cos(C-60°)/2

 

≤2〔sin(A+B)/2+ sin(C+60°)/2〕

 

=4sin(A+B+C+60°)/4×cos(A+B-C-60°)/4≤4sin60°,

 

∴  sinA+sinB +sinC≤3√3/2 (A+B+C=180°).

 

设 ΔABC 的周长为 P ,面积为 K ,外接圆半径为 R ,求 KP/R^3 的最大值.

 

思路:显然,由正弦定理易得p=2r(sinA+sinB+sinC),由两边及夹角的三角形面积公式易得k=2r^2 sinAsinBsinC;

 

故kp/r^3=4 sinAsinBsinC(sinA+sinB+sinC)≤4×(1/27)×(sinA+sinB+sinC)^3×(sinA+sinB+sinC)

 

=(4/27) ×(sinA+sinB+sinC)^4

 

≤(4/27) ×〔(3√3)/2〕^4=27/4.当且仅当A=B=C=π/3时等号成立,即取得最大值.

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