陆元鸿老师的《数学中国》园地《代数》(包括初等代数、数项级数、代数不等式、代数方程、线性代数、高等代数、矩阵论等) → 已知 a,b∈R,讨论方程 x^3+ax+b=0 仅有一实根(不含重根)的条件


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主题:已知 a,b∈R,讨论方程 x^3+ax+b=0 仅有一实根(不含重根)的条件

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已知 a,b∈R,讨论方程 x^3+ax+b=0 仅有一实根(不含重根)的条件  发帖心情 Post By:2019-4-27 19:12:37 [只看该作者]


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已知 a,b∈R,讨论方程 x^3+ax+b=0 仅有一实根(不含重根)的条件  发帖心情 Post By:2019-5-3 23:37:48 [只看该作者]


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  发帖心情 Post By:2019-5-4 13:45:48 [只看该作者]

 三次方程的求根公式不是一般中学以至大学数学的大纲范围,陆教授的解法不太理想,应从函数的角度考虑。

设:y=f(x)=x^3+ax+b,导数f`(x)=3x^2+a,显然当a>0时,始终有f`(x)>0;当a=0时,仅在x=0处f`(x)=0,其余情况f`(x)>0。
因此a>=0时f(x)的函数值始终增加,所以它只有1次穿过x轴的机会,此时f(x)=0只有一个实根。

当a<0时,由f`(x)=3x^+a=0,x=+/-(-a/3)^0.5,即导数有两个0点。如f(x)只有一个实根,则只有两种情形:

(1)导数f`(x)的左0点x1=-(-a/3)^0.5恰好低于x轴,此时[-(-a/3)^0.5]^3+a*[-(-a/3)^0.5]+b<0,


(2)导数f`(x)的右0点x1=(-a/3)^0.5恰好高于x轴,此时[(-a/3)^0.5]^3+a*[(-a/3)^0.5]+b>0,

结合a<0的条件应该可以化简出和陆教授一致的结果。

以上方法只适用于f(x)系数为实数时。



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  发帖心情 Post By:2019-5-5 16:12:16 [只看该作者]

謝謝陸教授和qingjiao

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