陆元鸿老师的《数学中国》园地《代数》(包括初等代数、数项级数、代数不等式、代数方程、线性代数、高等代数、矩阵论等) → a,b 为不等于 1 的非负整数,使 k=(a^2+ab+b^2)/(ab-1) 为非负整数,求所有的 k 值


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主题:a,b 为不等于 1 的非负整数,使 k=(a^2+ab+b^2)/(ab-1) 为非负整数,求所有的 k 值

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a,b 为不等于 1 的非负整数,使 k=(a^2+ab+b^2)/(ab-1) 为非负整数,求所有的 k 值  发帖心情 Post By:2017-11-7 2:36:52 [只看该作者]

假設a,b為非負整數且a,b不等於1,並滿足(a^2+ab+b^2)/(ab-1)為非負整數,若令(a^2+ab+b^2)/(ab-1)為k,試求出所有可能的k值。
[此贴子已经被admin于2017-11-7 7:29:45编辑过]

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a,b 为不等于 1 的非负整数,使 k=(a^2+ab+b^2)/(ab-1) 为非负整数,求所有的 k 值  发帖心情 Post By:2017-11-9 22:26:22 [只看该作者]

  a,b 为不等于 1 的非负整数,使 k=(a^2+ab+b^2)/(ab-1) 为非负整数,求所有的 k 值。

  当 a=2 ,b=2 时,有 k=(2^2+2×2+2^2)/(2×2-1)=12/3=4 。

    当 a=2 ,b=4 时,有 k=(2^2+2×4+2^4)/(2×4-1)=28/7=4 。

    当 a=4 ,b=10 时,有 k=(4^2+4×10+10^2)/(4×10-1)=156/39=4 。

    当 a=10 ,b=26 时,有 k=(10^2+10×26+26^2)/(10×26-1)=1036/259=4 。

    当 a=26 ,b=68 时,有 k=(26^2+26×68+68^2)/(26×68-1)=7068/1767=4 。

    当 a=68 ,b=178 时,有 k=(68^2+68×178+178^2)/(68×178-1)=48412/12103=4 。

    …………

    一般地,设有 Fibonacci数列:

    f1=1 ,f2=1 ,f3=2 ,f4=3 ,f5=5 ,f6=8 ,f7=13 ,f8=21 ,f9=34 ,f10=55 ,f11=89 ,……

    则当 a=2f(2n-1) ,b=2f(2n+1) 时,有  k=(a^2+ab+b^2)/(ab-1)=4 。

---------------------------------------------------------------

   当 a=2 ,b=11 时,有 k=(2^2+2×11+11^2)/(2×11-1)=147/21=7 。

   当 a=4 ,b=23 时,有 k=(4^2+4×23+23^2)/(4×23-1)=637/91=7 。

   当 a=11 ,b=64 时,有 k=(11^2+11×64+64^2)/(11×64-1)=4921/703=7 。

   当 a=23 ,b=134 时,有 k=(23^2+23×134+134^2)/(23×134-1)=637/91=7 。

   当 a=64 ,b=373 时,有 k=(64^2+64×373+373^2)/(64×373-1)=167097/23871=7 。

   当 a=134 ,b=781 时,有 k=(134^2+134×781+781^2)/(134×781-1)=732571/104653=7 。

   …………

   一般地,可以构造递推数列:x(1)=2 或 4 ,x(n+1)=3x(n)+√[8x(n)^2-7] ,n=1,2,3,……

    则当 a=x(n) ,b=x(n+1) 时,有  k=(a^2+ab+b^2)/(ab-1)=7 。
[此贴子已经被作者于2017-11-10 11:48:24编辑过]

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