陆元鸿老师的《数学中国》园地《代数》(包括初等代数、数项级数、代数不等式、代数方程、线性代数、高等代数、矩阵论等) → 已知 a 是有理数,(a+√18))/[-12+√(2a^2)] 也是有理数,求 a 的值


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主题:已知 a 是有理数,(a+√18))/[-12+√(2a^2)] 也是有理数,求 a 的值

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已知 a 是有理数,(a+√18))/[-12+√(2a^2)] 也是有理数,求 a 的值  发帖心情 Post By:2017-9-29 19:07:35 [只看该作者]


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已知 a 是有理数,(a+√18))/[-12+√(2a^2)] 也是有理数,求 a 的值  发帖心情 Post By:2017-9-30 18:27:32 [只看该作者]


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已知 a 是有理数,(a+√18))/[-12+√(2a^2)] 也是有理数,求 a 的值  发帖心情 Post By:2017-9-30 18:39:10 [只看该作者]

下面是网友 天元酱菜院 在《数学中国》论坛上对此题的解答:

 

注意到 √(2a^2)+12  >=  12  >0

于是,对有理数 (a+√18) / (-12+√(2a^2))乘以有理数 1= (√(2a^2)+12 ) / (√(2a^2)+12) 仍为有理数;

即: (a+√18) (√(2a^2)+12)  / (2a^2 - 144) 为有理数。

由于a为有理数,所以 2a^2-144为有理数,

由于√72=6√2 为无理数,不会等于有理数a, 所以,2a^2-144 不为0

于是:(a+√18)(√(2a^2)+12) 为有理数。即 √2 *a*|a| + 6|a| +12a + 12√18 为有理数

即: √2 (a*|a| + 36) 为有理数。  

但(a*|a|+36) 显然是有理数。若要√2(a*|a|+36)为有理数,只有(a*|a|+36)=0

当a>=0时, a*|a|+36 = a^2 + 36 >= 36 >0 不符合条件

当a<0时, 由-a^2+36=0 解出 a=-6 符合条件。

经验算: (- 6 + √18 ) /  (-12 + √72 ) = 1/2 是有理数。  

 

即:  a= - 6 是为所求

[此贴子已经被作者于2017-9-30 18:40:56编辑过]

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解答中圈起來是甚麼意思?  发帖心情 Post By:2017-9-30 18:43:34 [只看该作者]

解答中圈起來是甚麼意思?

 

 


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[此贴子已经被作者于2017-9-30 18:53:06编辑过]

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  发帖心情 Post By:2017-10-1 7:54:04 [只看该作者]

以下是引用YAG在2017-9-30 18:43:34的发言:

解答中圈起來是甚麼意思?

 

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[此贴子已经被作者于2017-9-30 18:53:06编辑过]

 

他的意思是:分子上“a+3√2” 必须是分母中 “-12+|a|√2” 的有理数倍数,才能约成一个有理分数。

 

而“a+3√2” 要成为“-12+|a|√2” 的有理倍数,分子分母中的有理项与无理项系数就要同时成比例,

 

也就是要有      a/(-12)=3/|a| 。

[此贴子已经被作者于2017-10-1 7:58:09编辑过]

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