陆元鸿老师的《数学中国》园地《代数》(包括初等代数、数项级数、代数不等式、代数方程、线性代数、高等代数、矩阵论等) → 设 a,b,c 均为有理数,9^(1/3)a+3^(1/3)b+c=0 ,证明:a=b=c=0


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主题:设 a,b,c 均为有理数,9^(1/3)a+3^(1/3)b+c=0 ,证明:a=b=c=0

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设 a,b,c 均为有理数,9^(1/3)a+3^(1/3)b+c=0 ,证明:a=b=c=0  发帖心情 Post By:2017-11-19 23:46:55 [只看该作者]


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设 a,b,c 均为有理数,9^(1/3)a+3^(1/3)b+c=0 ,证明:a=b=c=0  发帖心情 Post By:2017-11-22 9:07:57 [只看该作者]

下面是网友 天元酱菜院 在《数学中国》论坛上对此题的解答:

证明:

(1)  3^(1/3) 和 9^(1/3) 都是无理数。

    以 9^(1/3) 为例,若9^(1/3)为有理数,9^(1/3)= p/q...... p与q为互质的正整数。
    9 = p^3 / q^3,所以 p^3 = 9* q^3,所以,整数p含有3作为因子,p=3s
    9= 27 s^3 /q^3,   1=3 s^3 /q^3,  所以 3 s^3 = q^3  所以 , q含有3作为因子
    p与q都含有3作为因子与p与q互质矛盾。所以, 9^(1/3) 不是有理数。
    类似可证 3^(1/3) 不是有理数。

(2)若a为0, 则b必定为0,  从而c也为0。

         假若a=0, b不为0,则有  3^(1/3)  *b +c=0,  则有 3^(1/3) *b  为有理数,
         则有 3^(1/3) =  3^(1/3) *b / b  为有理数,这与(1)证得结果矛盾,所以a为0时b必定为0
         当a,b均为0时, 有 9^(1/3)a+3^(1/3)b + c = c =0;  

(3)若a不为0,则b必定不为0。

        假若a不为0,b为0, 则有 9^(1/3) a +c=0  则9^(1/3)*a 为有理数,
        则有9^(1/3) 为有理数, 这与(1)证得结果相矛盾。所以当a不为0时, b也不为0

(4) 用反证法证明本题:

    设 a不为0,    由于 9^(1/3) a + 3^(1/3) b + c =0,      
    有:  9^(1/3) a + 3^(1/3) b ............(式1)  为有理数
    对之平方:  3 * 3^(1/3) * a^2 + 9^(1/3) * b^2 +  2*3*ab 为有理数
    有: 9^(1/3) b^2 + 3^(1/3) * 3 a^2..........(式2) 为有理数

    由于a不为0,   (式1)* b^2/a - (式2)  为有理数
    即:  3^(1/3) * (b^3 - 3 a^3) / a  为有理数,
    因3^(1/3)为无理数,所以只能有  b^3 - 3 a^3  = 0 ,   
    或  (b/a)^3 =3, 然而 这就是说 3^(1/3) 是有理数b/a,  造成矛盾。

     所以, a不为0时,不会有  9^(1/3) a + 3^(1/3) b + c =0 成立。

(5) 综合前述各点, 方程 9^(1/3) a + 3^(1/3) b + c =0  的有理数解只有a=b=c=0  
[此贴子已经被作者于2017-11-22 9:10:13编辑过]

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