陆元鸿老师的《数学中国》园地《代数》(包括初等代数、数项级数、代数不等式、代数方程、线性代数、高等代数、矩阵论等) → 对 1,1/2,…,1/2011 作运算,每次运算都是消去 a,b,添加 a+b+ab,求最后剩下的一个数 [謝謝天元酱菜院和陸老師]


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主题:对 1,1/2,…,1/2011 作运算,每次运算都是消去 a,b,添加 a+b+ab,求最后剩下的一个数 [謝謝天元酱菜院和陸老師]

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对 1,1/2,…,1/2011 作运算,每次运算都是消去 a,b,添加 a+b+ab,求最后剩下的一个数 [謝謝天元酱菜院和陸老師]  发帖心情 Post By:2017-11-2 23:21:18 [只看该作者]


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对 1,1/2,…,1/2011 作运算,每次运算都是消去 a,b,添加 a+b+ab,求最后剩下的一个数  发帖心情 Post By:2017-11-3 21:25:44 [只看该作者]


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对 1,1/2,…,1/2011 作运算,每次运算都是消去 a,b,添加 a+b+ab,求最后剩下的一个数  发帖心情 Post By:2017-11-4 12:29:02 [只看该作者]

下面是网友 天元酱菜院 在《数学中国》论坛上对此题的解答:

设针对a,b“運算一次” 以 【a,b】表示。
1) 针对实数集合(有理数集合)内的任意两数,“運算一次”的结果仍为实数(有理数)。
      即“運算一次” 对实数集(有理数集)是闭的。
2)对于任意三个实数(有理数)a、b、c, 都有:
      【【a,b】,c】=【a+b+ab,c】=a+b+ab+c+ac+bc+abc ;
      【a,【b,c】】=【a,b+c+bc】=a+b+c+bc+ab+ac+abc ;
     即“運算一次” 对实数集(有理数集),结合律成立。
3) 对于任意两个实数(有理数)a,b都有:
     【a,b】=a+b+ab=【b,a】
    即“運算一次” 对实数集(有理数集),交换律成立。

4)所以,对于本题目中的2011个实数(有理数)施行的这2010次“運算一次”,与施行的先后顺序无关。
     (即所获得的结果是一致的)
     于是,我们可以按题目所给的顺序对这些数据依次施行。
5)以下对2楼王守恩网友的方法和计算结果进行整理:
第1次运算:【 1,1/2】=  1 +1/2+1×1/2=2
第2次运算:【 2,1/3】=  2 +1/3+2×1/3=3
第3次运算:【 3,1/4】=  3 +1/4+3×1/4=4
......
容易以类似于数学归纳法的方式验证:
第k次运算:【 k,1/(k+1)】=  k+1/(k+1)+k*1/(k+1) = k+1
于是,
最后一次运算(即第2010次运算)获得本题目结果:
               【2010,1/2011】=2011


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对 1,1/2,…,1/2011 作运算,每次运算都是消去 a,b,添加 a+b+ab,求最后剩下的一个数  发帖心情 Post By:2017-11-4 16:38:56 [只看该作者]

这是网友 天元酱菜院 在《数学中国》论坛上发表的一个跟帖:

题外话: 本题目所规定的运算,在 Q-{-1} 集合上做成一个群。
-1 这个数,对于这个运算构成一个数字陷阱(或称数字黑洞)。

我们以下仍以【a,b】这个符号表示这一运算。
1) 【a,b】对于Q-{-1}是闭的。
     1-1:   Q中任意 a,b,   a+b+ab仍然属于Q,即【a,b】对于Q是闭的
     1-2:   设a,x ∈Q且 a不为-1,  若【a,x】=-1,  即有  a+x+ax=-1,  解方程得到唯一的根 x=-1
              即: 如果a,b均不为-1, 则 a+b+ab 不会等于 -1
              即 【a,b】对于Q-{-1} 是闭的
2) 结合律成立。
     【【a,b】,c】=【a+b+ab,c】=a+b+c+ab+ac+bc+abc=【a,b+c+bc】=【a,【b,c】】
3) 存在单位元。
      【a,0】=a+0+0=a     (对任意a∈Q-{-1} )
4) 存在逆元
       对于任意a∈Q-{-1}, 都有-a/(a+1)∈Q-{-1}, 使【a,-a/(a+1)】=a - a/(a+1) - a^2/(a+1)=0
==============================================================
定义在Q(或R)上的这个运算,对于-1来说很有意思。
对于任何a∈Q(或R),都有【a,-1】=【-1,a】=a-1-a=-1
这就是常说的数字陷阱或数字黑洞。( 当然,【-1.-1】还是-1 )


==============================================================
    -1 这种奇葩现象其实也不奇怪,正如陆老师在3楼解法中指出的,【a,b】运算可以写为【a,b】=(a+1)(b+1)-1,
    对于a,b, 当他们均不为-1时 (a+1)(b+1)不为0,【a,b】不会等于-1,而当他们中有一个为-1时,
   (a+1)(b+1) =0   这就造就了 -1的奇葩现象。 很像普通乘法碰到0的现象。
  ————对称性仍然存在着。 仿佛是坐标轴平移似的,0点对正了-1这个数字。


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楼上定义的群,与Q-{0}上定义的普通乘法群同构

命名 楼上定义的群,所涉及的集合Q-{-1}为 A
命名普通乘法群,所涉及的集合Q-{0}为B

B集合中任意元a 以A 集合中 a-1 为像,构成一一对应。

但任意a、b∈B,对a的像 a-1 与 b的像 b-1 做【x,y】运算:
   【a-1,b-1】=a-1+b-1+(a-1)(b-1) = ab-1
恰为 a、b做普通乘法的结果ab, 在A中的像 ab-1

即:两群同构。

可以理解成坐标平移后,对平移前体系的乘法运算, 在新坐标系下的对应运算。

——其原像,也可以理解成   “变换回去做乘法,而后再变换回来”

[此贴子已经被作者于2017-11-4 16:40:06编辑过]

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