陆元鸿老师的《数学中国》园地《代数》(包括初等代数、数项级数、代数不等式、代数方程、线性代数、高等代数、矩阵论等) → a,b,c>0,a+b+c=1,证明:(a^2+b^2)/(a+3b)+(b^2+c^2)/(b+3c)+(c^2+a^2)/(c+3a)≥1/2 [謝謝xfhaoym和陸老師]


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主题:a,b,c>0,a+b+c=1,证明:(a^2+b^2)/(a+3b)+(b^2+c^2)/(b+3c)+(c^2+a^2)/(c+3a)≥1/2 [謝謝xfhaoym和陸老師]

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a,b,c>0,a+b+c=1,证明:(a^2+b^2)/(a+3b)+(b^2+c^2)/(b+3c)+(c^2+a^2)/(c+3a)≥1/2 [謝謝xfhaoym和陸老師]  发帖心情 Post By:2017-9-22 23:58:50 [只看该作者]


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a,b,c>0,a+b+c=1,证明:(a^2+b^2)/(a+3b)+(b^2+c^2)/(b+3c)+(c^2+a^2)/(c+3a)≥1/2  发帖心情 Post By:2017-10-7 13:52:11 [只看该作者]

下面是网友 xfhaoym 在《数学中国》论坛上对此题的解答:

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a,b,c>0,a+b+c=1,证明:(a^2+b^2)/(a+3b)+(b^2+c^2)/(b+3c)+(c^2+a^2)/(c+3a)≥1/2  发帖心情 Post By:2017-10-29 13:25:21 [只看该作者]

下面是网友 天元酱菜院 在《数学中国》论坛上对此题的解答:

这题有一个多月了。 看见的证法,总是说服不了我自己去认可。想着放下这题又总是放不下。

今天来了灵感,果然【有了】。

题目:a,b,c均为大于0的实数,a+b+c=1,

试证(a^2+b^2)/(a+3b) + (b^2+c^2)/(b+3c) + (c^2+a^2)/(c+3a) >=1/2

证明:

    (a^2+b^2)/(a+3b) = (a^2+b^2)(3a+b) / [(a+3b)(3a+b)]

=(a^2+b^2)(3a+b) / (3a^2+3b^2+10ab) >= (a^2+b^2)(3a+b) / [3a^2+3b^2+5(a^2+b^2)]

=(a^2+b^2)(3a+b) / (8a^2+8b^2) = (3a+b) /8

同样方法可得:

   (b^2+c^2)/(b+3c) >= (3b+c)/8

   (c^2+a^2)/(c+3a) >= (3c+a)/8

所以有:

   (a^2+b^2)/(a+3b) + (b^2+c^2)/(b+3c) + (c^2+a^2)/(c+3a)

>=  [(3a+b)+(3b+c)+(3c+a)] /8 =4(a+b+c)/8 =1/2   

证毕

思路轨迹: 开始时看到本题3项的对称方式, 还有一个对称。

即: (a^2+b^2)/(a+3b) 与 (a^2+b^2)/(3a+b) 是一种对称,

相应的   (b^2+c^2)/(b+3c) 与(b^2+c^2)/(3b+c) 对称

            (c^2+a^2)/(c+3a) 与 (c^2+a^2)/ (3c+a) 对称

即,这6项才是一个完全的对称结构。

想到尝试  [(a^2+b^2)/(2*(a+3b))  + (a^2+b^2) / (2*(3a+b)) ]   +

          +  [  (a^2+b^2) / (2*(a+3b))  - (a^2+b^2) / (2*(3a+b)) ]

通分后分母出现了令人鼓舞的情况。 并且计算的结果与分子分母同乘 (3a+b)效果一致。

-----------------------------------------------------------------------------------

可以推广到: a,b,c,u,v 均大于0,  a+b+c=1,  

则有

(a^2+b^2) / (ua+vb) + (b^2+c^2) / (ub+vc) + (c^2+a^2)/(uc+va)   >=  2 / (u+v)

还可以从3项推广到多项。

a(i) >0  (i=1,2,3,.....n);    u,v大于0, 且 ∑(i=1 to n) a(i)  =1          (其中n>=2)

则有:

  ( a(n) ^2+ a(1)^2) / ( a(n)*u+a(1)*v) + ∑ (i=1 to n-1)  [ ( a(i)^2+a(i+1)^2) / ( a(i) *u + a(i+1)*v) ]  >= 2 / (u+v)
 
--------------------------------------------------------------------------------------------
 
推广的范围还可以扩大一点。

若  a(i) >0  (i=1,2,3,.....n);    u,v非负且不全为0;  ∑(i=1 to n) a(i)  =1  (其中n>=2);
         设a(n+1)=a(1);
则有:
  ∑ (i=1 to n)   [ ( a(i)^2+a(i+1)^2) / ( a(i) *u + a(i+1)*v) ]   >= 2 / (u+v)
 
例: a,b,c均大于0,,a+b+c=1;      则有  a^2 / b + b^2 / c + c^2 / a  >= 1
证明: a^2 / b + b^2 / c + c^2 / a  
      =  a^2 / b + b^2 / c + c^2 / a     + (b+c+a) - (b+c+a)
      = (a^2+b^2) / (1*b+0*a)  + (b^2+c^2) / (1*c+0*b) + (c^2+a^2) / (1*a+0*c)   -  (b+c+a)
      >= 2 / (0+1)  - 1  
      = 1

[此贴子已经被作者于2017-11-2 11:28:27编辑过]

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