陆元鸿老师的《数学中国》园地《代数》(包括初等代数、数项级数、代数不等式、代数方程、线性代数、高等代数、矩阵论等) → 联立方程 ab=cd ,a+b+c+d=265 的正整数解有几组?[謝謝陸老師]


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主题:联立方程 ab=cd ,a+b+c+d=265 的正整数解有几组?[謝謝陸老師]

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联立方程 ab=cd ,a+b+c+d=265 的正整数解有几组?[謝謝陸老師]  发帖心情 Post By:2017-9-22 23:56:22 [只看该作者]


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联立方程 ab=cd ,a+b+c+d=265 的正整数解有几组?  发帖心情 Post By:2017-9-23 13:42:28 [只看该作者]

如果限定 a≤b ,c≤d 和 a≤c ,则可以找到下列 52 组不同的正整数解:

 

( 1)   1*208 =   4 * 52

( 2)   2*156 =   3 *104

( 3)   2*204 =   8 * 51

( 4)   3*200 =  12 * 50

( 5)   4*153 =   6 *102

( 6)   4*196 =  16 * 49

( 7)   5*192 =  20 * 48

( 8)   6*150 =   9 *100

( 9)   6*188 =  24 * 47

(10)   7*184 =  28 * 46

(11)   8*147 =  12 * 98

(12)   8*180 =  32 * 45

(13)   9*176 =  36 * 44

(14)  10*144 =  15 * 96

(15)  10*172 =  40 * 43

(16)  11*168 =  42 * 44

(17)  12*141 =  18 * 94

(18)  12*164 =  41 * 48

(19)  13*160 =  40 * 52

(20)  14*138 =  21 * 92

(21)  14*156 =  39 * 56

(22)  15*152 =  38 * 60

(23)  16*135 =  24 * 90

(24)  16*148 =  37 * 64

(25)  17*144 =  36 * 68

(26)  18*132 =  27 * 88

(27)  18*140 =  35 * 72

(28)  19*136 =  34 * 76

(29)  20*129 =  30 * 86

(30)  20*132 =  33 * 80

(31)  21*128 =  32 * 84

(32)  22*124 =  31 * 88

(33)  22*126 =  33 * 84

(34)  23*120 =  30 * 92

(35)  24*116 =  29 * 96

(36)  24*123 =  36 * 82

(37)  25*112 = 100 * 28

(38)  26*108 =  27 *104

(39)  26*120 =  39 * 80

(40)  28*117 =  42 * 78

(41)  30*114 =  45 * 76

(42)  32*111 =  48 * 74

(43)  34*108 =  51 * 72

(44)  36*105 =  54 * 70

(45)  38*102 =  57 * 68

(46)  40* 99 =  60 * 66

(47)  42* 96 =  63 * 64

(48)  44* 93 =  62 * 66

(49)  46* 90 =  60 * 69

(50)  48* 87 =  58 * 72

(51)  50* 84 =  56 * 75

(52)  52* 81 =  54 * 78

 

但是,实际上,a 与 b 可以交换位置,c 与 d 可以交换位置,ab 与 cd 也可以交换位置,

 

所以上述 52 组解还要乘以 2×2×2=8 倍,本题共有 52×8=416 组正整数解。

[此贴子已经被作者于2017-9-23 13:43:20编辑过]

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联立方程 ab=cd ,a+b+c+d=265 的正整数解有几组?  发帖心情 Post By:2017-9-23 16:26:49 [只看该作者]


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联立方程 ab=cd ,a+b+c+d=265 的正整数解有几组?  发帖心情 Post By:2017-9-23 16:57:54 [只看该作者]

按照楼上的方法,找到的 52 组解为:

 

( 1)   1 * 208 =  52 *   4     ( 2)   3 * 104 = 156 *   2

( 3)   3 * 200 =  50 *  12     ( 4)   9 * 100 = 150 *   6

( 5)   5 * 192 =  48 *  20     ( 6)  15 *  96 = 144 *  10

( 7)   7 * 184 =  46 *  28     ( 8)  21 *  92 = 138 *  14

( 9)   9 * 176 =  44 *  36     (10)  27 *  88 = 132 *  18

(11)  11 * 168 =  42 *  44     (12)  33 *  84 = 126 *  22

(13)  13 * 160 =  40 *  52     (14)  39 *  80 = 120 *  26

(15)  15 * 152 =  38 *  60     (16)  45 *  76 = 114 *  30

(17)  17 * 144 =  36 *  68     (18)  51 *  72 = 108 *  34

(19)  19 * 136 =  34 *  76     (20)  57 *  68 = 102 *  38

(21)  21 * 128 =  32 *  84     (22)  63 *  64 =  96 *  42

(23)  23 * 120 =  30 *  92     (24)  69 *  60 =  90 *  46

(25)  25 * 112 =  28 * 100     (26)  75 *  56 =  84 *  50

(27)  27 * 104 =  26 * 108     (28)  81 *  52 =  78 *  54

(29)  29 *  96 =  24 * 116     (30)  87 *  48 =  72 *  58

(31)  31 *  88 =  22 * 124     (32)  93 *  44 =  66 *  62

(33)  33 *  80 =  20 * 132     (34)  99 *  40 =  60 *  66

(35)  35 *  72 =  18 * 140     (36) 105 *  36 =  54 *  70

(37)  37 *  64 =  16 * 148     (38) 111 *  32 =  48 *  74

(39)  39 *  56 =  14 * 156     (40) 117 *  28 =  42 *  78

(41)  41 *  48 =  12 * 164     (42) 123 *  24 =  36 *  82

(43)  43 *  40 =  10 * 172     (44) 129 *  20 =  30 *  86

(45)  45 *  32 =   8 * 180     (46) 135 *  16 =  24 *  90

(47)  47 *  24 =   6 * 188     (48) 141 *  12 =  18 *  94

(49)  49 *  16 =   4 * 196     (50) 147 *   8 =  12 *  98

(51)  51 *   8 =   2 * 204     (52) 153 *   4 =   6 * 102


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