陆元鸿老师的《数学中国》园地《代数》(包括初等代数、数项级数、代数不等式、代数方程、线性代数、高等代数、矩阵论等) → 函数 f(x) 对任何有理数 x,y 都有 f(x+y)=f(x)+f(y)+xy ,已知 f(4)=14 ,求 f(2/3) [謝謝elim和陸老師]


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主题:函数 f(x) 对任何有理数 x,y 都有 f(x+y)=f(x)+f(y)+xy ,已知 f(4)=14 ,求 f(2/3) [謝謝elim和陸老師]

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函数 f(x) 对任何有理数 x,y 都有 f(x+y)=f(x)+f(y)+xy ,已知 f(4)=14 ,求 f(2/3) [謝謝elim和陸老師]  发帖心情 Post By:2017-6-17 23:55:40 [只看该作者]


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函数 f(x) 对任何有理数 x,y 都有 f(x+y)=f(x)+f(y)+xy ,已知 f(4)=14 ,求 f(2/3)  发帖心情 Post By:2017-6-18 16:40:34 [只看该作者]


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函数 f(x) 对任何有理数 x,y 都有 f(x+y)=f(x)+f(y)+xy ,已知 f(4)=14 ,求 f(2/3)  发帖心情 Post By:2017-6-18 19:30:08 [只看该作者]

下面是网友 elim 在《数学中国》论坛上对此题的解答:

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函数 f(x) 对任何有理数 x,y 都有 f(x+y)=f(x)+f(y)+xy ,已知 f(4)=14 ,求 f(2/3)  发帖心情 Post By:2017-6-19 8:17:17 [只看该作者]

下面是网友 angel_phoenix99 在《数学中国》论坛上对此题的解答:

 

f(0)=0

f(2)=5

f(x)+f(-x)=x^2

f(2/3)+f(4/3)=f(2)-8/9=37/9    (1)

f(2/3)+f(-2/3)=4/9    (2)

f(2/3)=f(4/3)+f(-2/3)-8/9    (3)

联立(1)(2)(3)

解出f(2/3)=11/9
------------------------------------------------------------------------

 

f(2)=5=f(2/3)+f(4/3)+8/9    (1)

f(2x)=2f(x)+x^2

f(4/3)=2f(2/3)+4/9   (2)

(1)(2)联立

f(2/3)=11/9


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想請問f(x)有不為多項式的解嗎 ?  发帖心情 Post By:2017-6-19 18:43:20 [只看该作者]

當f(x)為多項式時

f(0+0)=f(0)+f(0)+0*0=>f(0)=0
f(x+x)=f(x)+f(x)+x*x=>f(2x)=2f(x)+x^2.....(A)
當f(x)為多項式時,顯然次數為二次
設f(x)=ax^2+bx
則由(A)知 4a=2a+1=>a=1/2,再由f(4)=14得f(x)=(x^2+3x)/2 (此代入原式 左式=[(x+y)^2+3(x+y)]/2=右式 , 也符合)
=> f(2/3)=11/9 
想請問f(x)有不為多項式的解嗎 ?

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  发帖心情 Post By:2017-6-20 9:21:49 [只看该作者]

以下是引用YAG在2017-6-19 18:43:20的发言:

當f(x)為多項式時

f(0+0)=f(0)+f(0)+0*0=>f(0)=0
f(x+x)=f(x)+f(x)+x*x=>f(2x)=2f(x)+x^2.....(A)
當f(x)為多項式時,顯然次數為二次
設f(x)=ax^2+bx
則由(A)知 4a=2a+1=>a=1/2,再由f(4)=14得f(x)=(x^2+3x)/2 (此代入原式 左式=[(x+y)^2+3(x+y)]/2=右式 , 也符合)
=> f(2/3)=11/9 
想請問f(x)有不為多項式的解嗎 ?

 

可以证明,对任何有理数 x ,必有 f(x)=x(x+3)/2 ,没有其他解。


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